$\mathbb{S}^{7}$ 的极小等参子流形与八元数特征映射

我们利用 $\mathbb{S}^{7}$ 的八元数乘法 $\cdot$ 将 $\mathbb{S}^{7}$ 的子流形 $M$ 的每个单位法截面 $\eta$ 关联到一个八元数高斯映射 $\gamma_{\eta}:M\rightarrow\mathbb{S}^{6},$ $\gamma_{\eta}(x)=x^{-1}\cdot\eta(x),$ $x\in M,$ 其中 $\mathbb{S}^{6}$ 是 $T_{1}\mathbb{S}^{7}$ 的单位球面，$1$ 是 $\mathbb{S}^{7}$ 中 $\cdot$ 的中性元。记 $M$ 的法截面向量丛为 $\mathcal{N}(M)$，对 $\eta$ $\in\mathcal{N}(M)$ 令 $S_{\eta}(X)=-\left(\nabla_{X}\eta\right) ^{\top},$ $X\in TM.$ 考虑向量丛 $\mathcal{S}(M)=\left\{S_{\eta}, \ \text{}\eta\in\mathcal{N}(M)\right\}$ 上的 Hilbert-Schmidt 内积，并定义丛映射 $\mathcal{B} :\mathcal{N}(M)\rightarrow\mathcal{S}(M)$ 为 $\mathcal{B}(\eta)=S_{\eta}$，我们证明：若 $M$ 是 $\mathbb{S}^{7}$ 的极小子流形且 $\eta \in\mathcal{N}(M)$ 是单位且沿法联络平行的，则 $\gamma_{\eta}$ 为调和的当且仅当 $\eta$ 是 $\mathcal{B}^{\ast}\mathcal{B}:\mathcal{N}(M)\rightarrow\mathcal{N}(M)$ 的特征向量，其中 $\mathcal{B}^{\ast}$ 是 $\mathcal{B}$ 的伴随。若 $M$ 是 $\mathbb{S}^{7}$ 的余维数为 $k$ 的等参紧致极小子流形，则 $\mathcal{B}^{\ast}\mathcal{B}$ 具有常非负特征值 $0\leq\sigma_{1}\leq\cdots\leq\sigma_{k}$，且相应的特征向量 $\eta_{1},\cdots,\eta_{k}$ 构成 $\mathcal{N}(M)$ 的一组沿法联络平行的标准正交基，使得每个 $\gamma_{\eta_{j}}$ 都是 $M$ 的具有特征值 $7-k+$ $\sigma_{j}$ 的特征映射。此外，$\sigma_{j}=\Vert S_{\eta_{j}}\Vert^{2},$ $1\leq j\leq k.$