非齐次奇异向量的度量结果

给定 $\ut\in\Rm$ 及 $\Rm$ 上任意范数 $\Vert.\Vert$，我们考虑 $\Rm$ 中的“非齐次奇异”向量，其对任意 $c>0$ 及所有大 $Q$ 满足方程组 $$1\leq q\leq Q, \qquad \Vert q\ux-\underline{p}-\underline{\theta}\Vert\leq cQ^{-1/m}$$ 存在整数向量解 $(q,\underline{p})=(q,p_1,\ldots,p_m)$。我们证明该集合具有较大的填充维数，并且鉴于 Das、Fishman、Simmons、Urba\'nski 近期的深刻结果，我们的下界几乎是最优的（相差 $O(m^{-1})$）。我们也对 Hausdorff 维数建立了稍弱一些的界。我们的界适用于 $b$ 进制情形，即限制 $q$ 为某给定基 $b\geq 2$ 的整数次幂。我们进一步推导了某些 $m$ 维分形上向量的类似结果，从而推进了 Bugeaud、Cheung 和 Chevallier 的一个问题，并补充了 Kleinbock、Moshchevitin 和 Weiss 以及 Khalil 近期的工作。此外，我们表明与 Liouville 向量不同，$\Rm$ 中奇异向量的集合并不构成余贫集（comeagre set）。我们从 $\Rm$ 中任意余贫集具有满填充维数这一新的普遍结论推得此结果。作为我们方法的另一独立推论，我们证明存在 $\mathbb{R}^m$ 的子集 $A,B$，使得 $A+B=B+B=\mathbb{R}^m$ 但 $A+B$ 的 Hausdorff 维数小于 $m$，并给出推广。证明依赖于关于和集的观察及 Tricot 涉及笛卡尔积的一个结果，且出奇地初等。拓扑结果进一步使用了 Erd\H{o}s 的一个观察。