本原勾股数 Berggren 树中的度量性质

勾股数是指满足 $x^2+y^2=z^2$ 的正整数解三元组 $(x,y,z)$。若 $x,y$ 互素且 $x$ 为奇数，则称为本原勾股数。Berggren 证明每个本原勾股数都可由三元组 $(3,4,5)$ 通过按唯一数目与顺序乘以三个 $3\times3$ 矩阵生成，从而得到三元组的二叉树（三元树）。本文给出 Berggren 树中三元组的一些度量性质。首先，我们将本原勾股数视为直角三角形的边长；其次，将其视为三维空间中点的坐标。