自收缩曲线的度量与几何松弛

自收缩性（或依取向的自扩张性）在此以两种自然方式推广，对任意$\lambda\in\lbrack-1,1)$，产生$\lambda$-曲线的度量概念与（更弱的）$\lambda$-锥性质（$\lambda$-eel）的几何概念。在欧氏空间$\mathbb{R}^{d}$中，确立了对于$\lambda\in\lbrack-1,1/d)$有界$\lambda$-曲线具有有限长度。对于$\lambda\geq 1/\sqrt{5}$，总可在${\mathbb{R}}^{3}$中构造满足$\lambda$-锥性质且长度为无穷的有界曲线。然而这在${\mathbb{R}}^{2}$中绝不会发生：证明了所有具有$\lambda$-锥性质的有界平面曲线均有有限长度。