由分数布朗运动驱动的随机微分方程随机 theta 方法的均方稳定性

本文研究如下由 Hurst 参数 $H\in (\frac 12,1)$ 的分数布朗运动驱动的随机微分方程的解及其随机 theta 格式的均方稳定性：$$dX(t)=f(t,X(t))dt+g(t,X(t))dB^{H}(t).$$ 首先，我们考虑 $f(t,X)=-\lambda\kappa t^{\kappa-1}X$ 且 $g(t,X)=\mu X$ 的特殊情形。解显式可得，且当 $\kappa\geq 2H$ 时均方稳定。证明若参数 $2H\leq\kappa\le 3/2$ 且 $\frac{\sqrt{3/2}\cdot e}{\sqrt{3/2}\cdot e+1} (\approx 0.77)\leq \theta\leq 1$，或 $\kappa>3/2$ 且 $1/2<\theta\le 1$，则随机 theta 方法复现均方稳定性；若 $0<\theta<\frac 12$，该数值方法不能无条件保持此稳定性。其次，我们研究非线性方程的解及其随机 theta 格式的稳定性。由于长记忆性的存在，即便解在均方意义下的稳定性问题也因常规对布朗运动驱动随机微分方程有效的技术不再适用而未被很好研究，更毋论数值格式的稳定性。我们需发展一套全新技巧以应对此困难。数值算例用以阐明我们的理论结果。