具临界可积性的拉普拉斯与分数阶拉普拉斯的最大值原理

本文研究具临界可积性的拉普拉斯与分数阶拉普拉斯的最大值原理。我们首先考虑带零阶项与一阶项的拉普拉斯的临界情形。众所周知，对于带零阶项 $-\Delta +c(x)$ 的拉普拉斯（在 $B_1$ 中，$c(x)\in L^p(B_1)$（$B_1\subset \mathbf{R}^n$）），最大值原理的临界情形为 $p=\frac{n}{2}$。我们表明，临界条件 $c(x)\in {L^{\frac{n}{2}}(B_1)}$ 不足以保证强最大值原理。对于带一阶项 $-\Delta +\vec{b}(x)$（$\vec{b}(x)\in L^p(B_1)$）的拉普拉斯，临界情形为 $p=n$。在此情形下，我们建立了带一阶项的拉普拉斯的最大值原理与强最大值原理。我们亦将上述若干最大值原理推广至分数阶拉普拉斯。我们以某些可积性条件替代分数阶拉普拉斯解的经典下半连续条件，进而在一些系数可积性条件下建立了一系列分数阶拉普拉斯的最大值原理。这些条件弱于先前的正则性条件。系数的弱化条件与分数阶拉普拉斯的非局部性带来了若干新困难，我们发展了一些新技术。