最大右光滑扩展链

如果 $w=u\alpha$，其中 $\alpha\in \Sigma=\{1,2\}$ 且 $u\in \Sigma^*$，则称 $w$ 为 $u$ 的简单右扩展，记为 $u\prec w$。设 $k$ 为正整数，$P^k(\epsilon)$ 表示所有高度为 $k$ 的 $C^\infty$-词构成的集合。取 $u_{1},\,u_{2},..., u_{m}\in P^{k}(\epsilon)$，若 $u_{1}\prec u_{2}\prec ...\prec u_{m}$ 且不存在 $P^{k}(\epsilon)$ 中的元素 $v$ 使得 $v\prec u_{1}\text{或} u_{m}\prec v$，则称 $u_{1}\prec u_{2}\prec...\prec u_{m}$ 为高度 $k$ 的一条最大右光滑扩展链。本文证明，高度 $k$ 的最大右光滑扩展链构成了高度 $k$ 的光滑词的一个划分，并给出了对每个正整数 $k$，高度 $k$ 的最大右光滑扩展链数量的公式。此外，由于对每个正整数 $n$，长度为 $n$ 的光滑词存在最小高度 $h_1$ 和最大高度 $h_2$，我们发现高度 $h_1-1$ 和 $h_2+1$ 的最大右光滑扩展链分别是建立长度为 $n$ 的光滑词数量下界和上界的良好候选，这比先前的方法更简单直观。