Aronsson方程的最大解与最小解：L∞变分问题与博弈论

Dirichlet问题$$\begin{cases} \Delta_{\infty}u-|Du|^2=0 \quad \text{在$\Omega\subset \Rset ^n$上} u|_{\partial \Omega}=g \end{cases}$$可能有多个解，其中$\Delta_{\infty}u=\sum_{1\leq i,j\leq n}u_{x_i}u_{x_j}u_{x_ix_j}$。本文证明，最大解是来自L∞变分法中$H(p,z)={1\over 2}|p|^2-z$的唯一绝对极小元，而最小解是“拔河”博弈中的连续值函数。我们还将刻画既非绝对极小元也非值函数的解的图像。一个尚待解决的有趣问题是如何解释这些中间解。我们的方法大多基于Barles-Busca [BB]的思想。