马尔可夫链与鞅的矩阵矩与浓度不等式及其在统计学习中的应用

本文研究了关于矩阵求和（具有依赖性随机矩阵）谱范数的矩与浓度不等式。我们建立了离散时间矩阵局部鞅的新型Rosenthal-Burkholder不等式、连续矩阵局部鞅的Burkholder-Davis-Gundy不等式，以及针对ergodic马尔可夫链的矩阵Rosenthal、Hoeffding和Bernstein不等式。与之前关于马尔可夫链矩阵浓度不等式的工作不同，后者假设非零绝对$L^2$-谱间隙或更强的$\psi$-混合条件，本文的假设为几何ergodicity，这一条件在统计应用中常用。此外，我们的结果的leading项匹配马尔可夫链中心极限定理，而非依赖次优方差代理。我们还给出不依赖基准维度$d$、依赖于有效秩（effective rank）的版本。这使得将结果推广到无限维希尔伯特空间中的线性算子成为可能。我们的结果在统计学和机器学习中具有广泛应用；特别是，我们在马尔可夫数据上的协方差估计和主成分分析中获得了更好的界。