随机幺正矩阵幂的矩阵模型、Toeplitz行列式与回归时间

本文旨在研究U^t的特征值u_1^t = e^{itθ_1}, …, u_N^t = e^{itθ_N}，其中U是一个大的N×N随机幺正矩阵且t>0。我们特别关注所有特征值以不同方式同时接近1的典型时间t，这对应于量子测量问题中的回归时间。我们的策略是将该问题重写为一个随机矩阵积分，并利用圈方程技术计算大N渐近的首阶项。我们还将该问题与一个大Toeplitz行列式的计算联系起来，该行列式的符号是单位圆上若干弧段的特征函数。特别地，在单个弧段的情况下，我们恢复了Widom公式。最后，我们解释了为何当N很大时，首次回归时间预期会收敛于指数分布。文中提供了数值模拟以说明这些结果。