通过 Clifford Matchgate 和 $T$ 门实现 Matchgate 合成

Matchgate 单位算子因其与非相互作用费米子的关系以及可用于基准量子计算机的特性而广为流行。在容错设备上实现此类算子需首先将其编译为离散通用门集，通常为 Clifford$+T$。本文提出了一种不同的合成方法：仅使用 matchgate 门编译 matchgate 单位算子。具体而言，我们证明了 matchgate-Clifford 群（即 matchgate 群与 Clifford 群的交集）加上 $\overline{T}$ 门（$T$ 单位算子，去除相位）对于 matchgate 群是通用的。该方法利用 $n$ 量子比特 matchgate 电路与 $\mathbb{SO}(2n)$ 的标准表示之间的联系，将从 $2^n\times 2^n$ 单位算子到 $2n\times2n$ 单位算子的编译规模指数级降低。此外，我们严格证明了该方案是高效的，因为在该较小维表示中产生的近似误差 $\varepsilon_{\mathbb{SO}(2n)}$ 最多转化为 $O(n \,\varepsilon_{\mathbb{SO}(2n)})$ 的误差，映射到指数级大的单位算子中。我们还研究了 matchgate 合成问题的精确版本，证明所有满足 $U\otimes U^*$ 条目在环 $\mathbb{Z}\big[1/\sqrt 2,i\big]$ 中的 matchgate 单位算子 $U$，可通过有限序列的门从 matchgate-Clifford$+\overline{T}$ 集合中精确合成（无需辅助量子比特）。我们进一步利用这一洞见，将最优精确 matchgate 合成映射到布尔满意度问题，并编译了在 $n=4、8$ 量子比特上对自由费米子 $XX$ 哈密顿对角化电路。