马尔可夫轨迹：基于经验观测量的微正则系综与基于马尔可夫生成器的正则系综之比较

由马尔可夫生成器 $M$ 产生的轨迹系综 $x(0 \leq t \leq T)$ 可被视为“正则”的，原因如下：（C1）轨迹 $x(0 \leq t \leq T)$ 的概率可重写为与其相关经验时间平均观测量 $E_n$ 的线性组合的指数，其中涉及马尔可夫生成器的系数即为这些观测量的固定共轭参数；（C2）对于大 $T$，这些经验观测量 $E_n$ 的大偏差性质由第 2.5 层级的显式速率函数 $I^{[2.5]}_M (E_.)$ 支配，而在热力学极限 $T=+\infty$ 下，它们集中于由马尔可夫生成器 $M$ 决定的典型值 $E_n^{typ[M]}$。热力学极限 $T=+\infty$ 下的这一集中性质启示我们引入随机轨迹 $x(0 \leq t \leq T)$ 在第 2.5 层级的“微正则系综”概念，其中所有相关经验变量 $E_n$ 被固定为某些值 $E^*_n$ 且在有限 $T$ 下不再涨落。本文旨在讨论其主要性质：（MC1）当长轨迹 $x(0 \leq t \leq T)$ 属于具有固定经验观测量 $E_n^*$ 的微正则系综时，其子轨迹 $x(0 \leq t \leq \tau)$（其中 $1 \ll \tau \ll T$）的统计由与马尔可夫生成器 $M^*$ 相关联的正则系综支配，该生成器将使经验观测量 $E_n^*$ 成为典型值；（MC2）在微正则系综中，核心作用是持续时间为 $T$ 且具有给定经验观测量 $E^*_n$ 的随机轨迹数 $\Omega^{[2.5]}_T(E^*_.)$，以及相应的显式玻尔兹曼熵 $S^{[2.5]}( E^*_. ) = [\ln \Omega^{[2.5]}_T(E^*_.)]/T$。这一通用框架被应用于连续时间马尔可夫跳跃过程和离散时间马尔可夫链，并给出说明性例子。