重尾长程依赖数据外积的 Marcinkiewicz 强大数定律

研究了 Marcinkiewicz 强大数定律 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{\frac1p}}\sum_{k=1}^n (D_{k}- D)=0$ a.s.（其中 $p\in(1,2)$）对于外积 $D_k=X_k\overline{X}_k^T$ 的成立情况，其中 $\{X_k\},\{\overline{X}_k\}$ 均为双侧（多元）线性过程（系数矩阵为 $(C_l), (\overline{C}_l)$，独立同分布零均值新息为 $\{\Xi\}$, $\{\overline{\Xi}\}$）。矩阵序列 $C_l$ 和 $\overline{C}_l$ 可衰减得足够慢（当 $|l|\to\infty$）使得 $\{X_k,\overline{X}_k\}$ 具有长程依赖，而 $\{D_k\}$ 可具有重尾。特别地， $\{D_k\}$ 的重尾与长程依赖现象被同时处理，并且证明了一个新的解耦性质：收敛速率由重尾或长程依赖中较坏者决定，而非二者组合。主要结果被应用于得到随机逼近、非线性函数形式以及自协方差的 Marcinkiewicz 强大数定律。