Madhava 圆周级数在现代语境下的阐述

圆周级数归功于 Madhava、Gregory 和 Leibniz 根据发现时间顺序。虽然这一表述承认 Kerala 14 世纪居住在河 Nila 岸边的印度数学家 Madhava of Sangamagrama 最先发现了该级数，但现代对圆周级数的证明基于著名德国数学家 Gottfried Wilhelm Leibniz 17 世纪所提出的论述概要，使用许多在他一生中后期才发展出的微积分概念和严格定义。我们将同样的收益扩展到 Madhava 的思想上，提出 Jayesthadeva 在《Yuktibhasha》中给出的 Madhava 的 upapatti 即证明，并以现代符号和定义表述。我们在三个方面详述 Madhava 的证明：(a) 证明弧位和弧位近似值之和相等，(b) 证明收敛性，(c) 用迭代简洁地证明幂级数近似。Madhava 的方法经过适当修改可用于推导正弦和余弦级数。Madhava 还提供了加速圆周级数收敛的校正项。我们比较两种证明，即 Madhava 的证明和基于 Leibniz 思路的流行证明，发现它们不同，因为 Madhava 的证明基于弧长，而 Leibniz 的证明依赖于弧下的面积；就两种证明中使用的微积分概念数量而言，Madhava 的证明更为简洁，从而值得被赞赏、普及和作为圆周级数的原证教给学生。