含离群点的多个子空间中最显著子空间的lp恢复
摘要
我们假设数据采样自一个由d维线性子空间混合而成的模型，每个子空间内具有球对称分布，此外还有一个额外的离群点分量，其在环境空间中具有球对称分布(为简单起见，我们可以假设所有分布在其对应的单位球面上都是均匀的)。我们还假设不同分量的混合权重。如果模型中某个子空间的混合权重大于所有其他子空间混合权重之和，则称其为最显著子空间。我们研究通过最小化数据点到d维子空间的lp平均距离来恢复最显著子空间，其中p>0。与其他lp最小化问题不同，该最小化对所有p>0都是非凸的，因此需要不同的方法进行分析。我们证明，如果0<p<=1，则对于任意比例的离群点，最显著子空间都可以通过lp最小化以压倒性概率(取决于生成分布及其参数)恢复。我们证明，当在底层子空间周围添加小噪声时，对于任意0<p<=1，最显著子空间可以通过lp最小化近似恢复，误差与噪声水平成正比。另一方面，如果p>1且存在多个底层子空间，则最显著子空间无法以压倒性概率被恢复或近似恢复。最后这一结果不要求离群点具有球对称性。
引用
@article{arxiv.1012.4116,
title = {lp-Recovery of the Most Significant Subspace among Multiple Subspaces with Outliers},
author = {Gilad Lerman and Teng Zhang},
journal= {arXiv preprint arXiv:1012.4116},
year = {2015}
}
备注
This is a revised version of the part of 1002.1994 that deals with single subspace recovery. V3: Improved estimates (in particular for Lemma 3.1 and for estimates relying on it), asymptotic dependence of probabilities and constants on D and d and further clarifications; for simplicity it assumes uniform distributions on spheres. V4: minor revision for the published version