具有未知离群点数量的匹配映射恢复

我们考虑在两套 $d$ 维含噪特征向量之间寻找匹配映射的问题。我们设定中的一个显著特征是，不假定第一套向量中的所有向量都在第二套中存在对应向量。若这两套的大小分别为 $n$ 和 $m$，我们假定待恢复的匹配映射定义于未知基数 $k^*\le \min(n,m)$ 的子集上。我们证明，在高维设定下，若信噪比大于 $5(d\log(4nm/\alpha))^{1/4}$，则以概率 $1-\alpha$ 可恢复真实匹配映射。有趣的是，该阈值不依赖于 $k^*$，且与先前在 $k = \min(n,m)$ 情形下所得阈值相同。上述性质所依的程序通过对候选映射 $\{\hat\pi_k:k\in[\min(n,m)]\}$ 进行数据驱动选择获得。每个 $\hat\pi_k$ 最小化两套大小为 $k$ 的向量间距离平方和。所得优化问题可表述为最小费用流问题，从而高效求解。最后，我们报告了在合成与真实数据上的数值实验结果，其阐明了我们的理论结果并进一步洞察了本文所研究算法的性质。