基于Gram矩阵重叠的鲁棒配准内点恢复

在存在噪声和异常值的情况下进行鲁棒点集配准具有挑战性，因为必须在执行可靠对齐之前识别出匹配点（内点）。现有的鲁棒配准方法通常在变换空间上进行优化，并且通常针对内点比例不消失的情况而设计。在本文中，我们通过两个数据集的Gram矩阵的Hadamard乘积来比较它们，从而研究鲁棒配准中出现的内点恢复问题。该公式将内点识别转化为一个结构化恢复问题，并避免在旋转群上进行直接优化。基于这一思想，我们开发了两种方法：一种基于Gram矩阵重叠的主特征向量的特征向量匹配方法，以及一种基于聚合逐项比较的行和匹配方法。我们证明，当维度和样本量同阶时，特征向量方法可实现弱恢复，而行和方法在更广泛的维度缩放范围内可实现精确恢复。特别是，当维度与样本量相当时，即使内点比例消失，精确恢复也是可能的，内点数量最少可达 $\sqrt{n}$ 量级（至多相差对数因子）。我们还讨论了针对大规模设置的并行实现。在脑成像数据和图像示例上的数值实验表明，所提出的方法在存在大量损坏的情况下能有效地识别匹配结构。