首达渗流中穿过盒子的最大流的下大偏差与大数定律

我们考虑 $d\geq 2$ 时 $\mathbb{Z}^d$ 中的标准首达渗流模型。我们关注两个量：盒子下半部分与上半部分之间的最大流 $\tau$，以及盒子顶部与底部之间的最大流 $\phi$。标准的次可加性论证得出了有理方向上 $\tau$ 的大数定律。Kesten 和 Zhang 已证明了当盒子侧面平行于坐标超平面时 $\tau$ 和 $\phi$ 的大数定律：这两个变量随盒子底面积 $s$ 线性增长，且具有相同的确定性速度。我们研究了重缩放变量 $\tau /s$ 和 $\phi /s$ 异常小的概率。对于 $\tau$，盒子可以具有任意取向；而对于 $\phi$，我们要求盒子足够扁平，或者其侧面平行于坐标超平面。我们表明，当 $s$ 趋于无穷大时，这些概率随 $s$ 指数快速衰减。此外，我们证明了 $\tau /s$ 和 $\phi /s$ 的相关大偏差原理，其速度为 $s$，并改进了获得这些变量大数定律所需的条件。