$\mathbb{R}^d$ 区域中首达渗流的最大流与最小割集

我们考虑 $d\geq2$ 时重缩放图 $\mathbb{Z}^d/n$ 上的标准首达渗流模型，以及 $\mathbb{R}^d$ 中边界为 $\Gamma$ 的区域 $\Omega$。设 $\Gamma ^1$ 和 $\Gamma ^2$ 为 $\Gamma$ 的两个不相交开子集，分别代表水进入和流出 $\Omega$ 的部分边界。关于 $\Omega$ 中从 $\Gamma ^1$ 到 $\Gamma ^2$ 的最大流的大数定律已知成立。本文研究了最大流（maximal stream）与最小割集（minimal cutset）的渐近行为。最大流是一个向量测度 $\vec{\mu}_n^{\max}$，描述了最大量的流体如何穿过 $\Omega$。在区域正则性条件和边容量分布律的条件下，我们证明序列 $(\vec{\mu}_n^{\max})_{n\geq1}$ 几乎必然收敛于各向异性网络中连续确定性最大流问题的解集。最小割集可视为集合 $E_n^{\min}$ 的边界，该集合在 $\Omega$ 中将 $\Gamma ^1$ 与 $\Gamma ^2$ 分隔开且其随机容量最小。在相同条件下，我们证明序列 $(E_n^{\min})_{n\geq1}$ 收敛于连续确定性最小割集问题的解集。由此我们推导出了连续确定性最大流最小割定理，并给出了最大流大数定律的一个新证明。由于该证明依赖于对最大流和最小割集（即相关研究对象）的研究，因此比现有证明更为自然。