amenability 群 Roth 定理的下界

设 $T_1$、$T_2$ 为可数 amenability 群的两个交换保概率测度作用，且由这些作用生成的群作用是遍历的。我们证明，对于任何可测集 $A$ 和任何 $\epsilon>0$，在一个 syndetic 集上满足 $\mu(A\cap T_1^g A\cap T_1^g T_2^g A) > \mu(A)^4-{\epsilon}$。证明使用了 Austin 引入的 sated 系统概念。