Lorentzian 多项式与三角超拟阵上的拟阵 1：拓扑方面

Lorentzian 多项式充当了连续凸性与离散凸性之间的桥梁，将分析与组合学联系起来。在本文中，我们研究了 $J$ 上 Lorentzian 多项式模 $\mathbb{R}_{>0}$ 的空间 $\mathbb{P}\textrm{L}_J$ 的拓扑结构，该空间非空当且仅当 $J$ 是多拟阵的基集。我们证明了 $\mathbb{P}\textrm{L}_J$ 是一个维数等于 $J$ 的 Tutte 秩的带边流形，更准确地说，它同胚于一个闭欧氏球，且 $J$ 的 Dressian 从其边界中移除。此外，我们证明了对于任意 $q>0$，$\mathbb{P}\textrm{L}_J$ 同胚于三角超拟阵 $\mathbb{T}_q$ 上 $J$ 的薄 Schubert 胞腔 $\textrm{Gr}_J(\mathbb{T}_q)$，后者由 Viro 在热带几何和 Maslov 去量子化的语境中引入。这一识别使我们能够应用在配套论文中开发的多拟阵表示理论，以及第一和第四作者关于拟阵基础的早期工作，从而在几种关键情况下给出 $\mathbb{P}\textrm{L}_J$ 在同胚意义下的简单显式描述。我们的结果表明，$\mathbb{P}\textrm{L}_J$ 总是允许一个同胚于闭欧氏球的紧化。它们也可以用来否定回答 Brändén 的一个问题，即证明 $\mathbb{P}\textrm{L}_J$ 在所有多项式模 $\mathbb{R}_{>0}$ 的空间内的闭包通常不同胚于闭欧氏球。此外，我们引入了 Lorentzian 多项式重缩放类空间的 Hausdorff 紧化，并证明了复 Grassmann 流形的 Chow 商自然映射到该紧化。这提供了一个几何框架，将 Lorentzian 多项式空间的渐近结构与代数几何中的经典构造联系起来。