Abel 拓扑半群上多项式空间的维数

本文研究（连续）多项式 $p: J\to X$，其中 $J$ 是一个 Abel 拓扑半群，$X$ 是一个拓扑向量空间。如果 $J$ 是局部紧 Abel 群 $G$ 中具有非空内部的子半群，且 $G=J-J$，则 $J$ 上的每个多项式 $p$ 都能唯一地延拓为 $G$ 上的多项式。特别令人关注的是，何时阶数至多为 $n$ 的多项式空间 $P^n (J,X)$ 是有限维的。例如，我们证明对于某些半群，Riss 多项式（由有限个同态 $\alpha: J\to \mathbf{R}$ 生成的多项式）的子空间 $P^n_{R} (J,\mathbf{C})$ 真包含于 $P^n (G,\mathbf{C})$ 中。然而，如果 $P^1 (J,\mathbf{C})$ 是有限维的，则 $P^n_{R} (J,\mathbf{C})= P^n (J,\mathbf{C})$。最后，我们展示了一大类群，使得 $P^n (G,\mathbf{C})$ 是有限维的。