一针绣图案中的环与区域

一针绣（Hitomezashi）图案源于日本传统刺绣，是由称为针脚的单位长度线段构成的精细排列。这些针脚连接形成一针绣股与一针绣环，将平面划分为区域。我们探究这些图案更深的数学性质，它们也在角渗流研究中占据重要位置。此前已知一针绣图案中每个环具有奇数宽度与奇数高度。我们进一步证明此类环的长度模 $8$ 同余于 $4$，面积模 $4$ 同余于 $1$。尽管这些结果表述简单，其证明要求我们理解可应用于一针绣图案的切片操作微妙的拓扑与组合性质。我们还证明，在自然的随机模型下选取的随机 $m\times n$ 一针绣图案中，区域的期望数目渐近地为 $\left(\frac{\pi^2-9}{12}+o(1)\right)mn$。