含时磁场下 Landau Hamiltonian 的长时间动力学

我们考虑一个垂直于固定平面的调制磁场 $B(t) = B_0 +\varepsilon f(\omega t)$，其中 $B_0$ 为常数，$\varepsilon>0$，$f$ 为环面 ${\mathbb T}^n$ 上的周期函数。我们的目标是研究相应 Landau Hamiltonian 的经典与量子动力学。结果表明，结果强烈依赖于所选的规范。对于 Landau 规范，位置算符在“几乎所有”非共振频率 $\omega$ 下是无界的。相反，对于对称规范，我们得到在“几乎所有”非共振频率 $\omega$ 下，Landau Hamiltonian 可约化为二维谐振子，从而产生有界动力学。证明过程对经典动力学使用了 KAM 算法。文中给出了量子应用。特别地，在 Landau 规范下 Floquet 谱是绝对连续的，而在对称规范下是有限重数的离散谱。