正常双曲场景下准共轭态的长期传播

我们提出了一种方法，用于在给定哈密顿量的半经典 Schrödinger 方程下，准共轭态 (或标准偏差为 $\sqrt{h}$ 的高斯波包) 的演化渐近解。这些结果扩展了 Combescure 和 Robert 的工作，在该工作中，准共轭态的演化可在极限 $h\to 0$ 下用称为紧凑共轭态的变形高斯波包进行近似。该描述在时间 $t$ 可以随 $h\to 0$ 趋于无穷大的情况下成立，但需满足约束 $|t|\leq |\log h|/(6\lambda_0)$，其中 $\lambda_0$ 为经典动力学的最大 Lyapunov 指数。该近似在时间 $|\log h|/(6\lambda_0)$ 处的破裂与演化波包的弯曲有关：一旦演化后的波包在尺度 $h^{1/3}$ 处展开，紧凑共轭态将不再提供合适的描述。为了获得在时间 $|t|\leq C|\log h|$ 内有效表示的演化态（例如，在Ehrenfest 时间 $|\log h|/(2\lambda_0)$ 处，允许在宏观尺度上展开），我们对与经典动力学相关的流 $\Phi_t$ 作出额外假设，通过对伸长方向施加约束。在此背景下，我们在正常双曲 $\Phi_t$-不变亚流形 $K$ 的邻域内工作，其中动力学被视为相对于其横向方向而言缓慢，沿该方向 $\Phi_t$ 被假设为双曲。 在此情境下，我们将演化态描述为沿 $K$ 的紧凑态以及横向方向的 WKB 态。该描述强调，演化态不应被视为在点上进行的 microlocalization，而应在对应于横向不稳定方向的各向同性亚流形上进行。Guillemin、Uribe 和 Wang 提出了类似的波函数类，microlocalized 在各向同性亚流形上。