一类平流-选择方程的长时间行为

我们研究平流-选择方程的长时间行为 $$\partial_tn(t,x)+\nabla \cdot \left(f(x)n(t,x)\right)=\left(r(x)-\rho(t)\right)n(t,x),\quad \rho(t)=\int_{\mathbb{R}^d}{n(t,x)dx}\quad t\geq 0, \; x\in \mathbb{R}^d,$$ 其初始条件为 $n(0, \cdot)=n^0$。在适应动力学领域中，该方程通常描述表型结构化种群随时间的演化。此时，$x\mapsto n(t,x)$ 表示以表型性状 $x$ 为特征的种群密度，平流项 `$\nabla \cdot \left(f(x)n(t,x)\right)$' 为将个体驱向特定区域的细胞分化现象，选择项 `$\left(r(x)-\rho(t)\right)n(t,x)$' 为种群的逻辑型增长，其通过总体种群规模 $\rho(t)=\int_{\mathbb{R}^d}{n(t,x)dx}$ 体现。在一维情形 $x\in \mathbb{R}$ 下，我们证明该方程的解可收敛于一个加权狄拉克质量或 $L^1$ 中的函数。依据参数 $n^0$、$f$ 与 $r$，我们判定发生上述两种收敛机制中的哪一种，并给出狄拉克质量所支撑的权重与位置，或所达 $L^1$-函数的表达式。