具有临界耗散的标量守恒律的长时间行为

临界 Burgers 方程 $\partial_t u + u \partial_x u + \Lambda u = 0$ 是研究流体中激波形成时输运与扩散竞争的玩具模型。众所周知，光滑初值不会在有限时间内产生激波。关于“类激波”初值 $u_0 \to \pm a$ 当 $x \to \mp \infty$ 的长时间行为则知之甚少。我们在多维临界标量守恒律 $\partial_t u + \text{div}f(u) + \Lambda u = 0$ 且初值在无穷远处有极限的一般设定下描述此长时间行为。其渐近行为由某些自相似解给出，我们以最优扩散速率证明了这些解的稳定性。