长寿命散射共振与 Bragg 结构

我们考虑一个由具有折射率 $n(x)$ 的波动方程所支配的系统，其中 $n(x)$ 在有界区域 $\Omega\subset \mathbb R^d$ 内是变化的，而在 $\mathbb R^d \setminus \Omega$ 中是常数。具有初始数据且局限于 $\Omega$ 内的时变波动方程的解，随时间推进而扩散和衰减。这种衰减速率（对于 $d=1,3$，以及更一般地，$d$ 为奇数时）可以用散射共振问题的特征值来度量，这是一个支配在 $\infty$ 处向外传播的波（Helmholtz）方程时谐解的非自伴特征值问题。具体而言，从 $\Omega$ 逃逸能量的速率由最接近实轴的复散射特征频率所支配。我们研究结构设计问题：在容许类中寻找一个具有最小虚部散射频率的折射率分布 $n_*(x)$。容许类由 $n(x)-1$ 的紧支撑以及 $x \in \Omega$ 时 $n(x)$ 的逐点上下（材料）界即 $0 < n_- \leq n(x) \leq n_+ < \infty$ 所定义。我们将此问题表述为一个约束优化问题，并证明最优结构 $n_*(x)$ 存在。此外，$n_*(x)$ 是分段常数且达到材料界的，即 $n_*(x) \in {n_-, n_+}$。在一维情形下，我们建立了 $n_*(x)$ 与著名的 Bragg 结构类之间的联系，其中 $n(x)$ 在长度为有效波长四分之一的区间上是常数。