长耳有向图

设 $H$ 为有向图 $D$ 的子有向图。$H$ 在 $D$ 中的耳是 $D$ 中的一条路径或一个环，其端点位于 $H$ 中，但其内部顶点不在 $H$ 中。强有向图 $D$ 的 \emph{耳分解} 是 $D$ 的强子有向图的嵌套序列 $(D_0,D_1,\ldots , D_k)$，满足：1) $D_0$ 是一个环，2) 对每个 $i\in \{0,1,\ldots,k-1\}$，$D_{i+1} = D_i\cup P_i$，其中 $P_i$ 是 $D_i$ 在 $D$ 中的耳，3) $D_k=D$。在本工作中，$\mathcal{LE}_i$ 被定义为具有耳分解的强有向图族，其中每个耳的长度至少为 $i\geq 1$。证明了 Seymour 第二邻域猜想和 Laborde、Payan 与 Soung 猜想在 $\mathcal{LE}_2$ 族中成立，且小准核猜想对 $\mathcal{LE}_3$ 中的有向图成立。此外，给出了某些充分条件，使得 $\mathcal{LE}_2$ 中具有核的强非可分离有向图的耳分解中前（后）子有向图也具有核。证明了 $\mathcal{LE}_2$ 中的有向图色数至多为 3，二色数为 2 或 3。最后，$\mathcal{LE}_3$ 中非对称有向图的有向色数有界 6，且表明 $\mathcal{LE}_2$ 中非对称有向图的有向色数无界。