球内两相扭转问题的局部最优构型

我们考虑填充有两种不同电导率材料的单位球 $\Omega\subset \mathbb{R}^N$ ($N\ge2$)。我们进行直至二阶的形状导数，以获取关于相对于扭转刚度泛函的局部最优构型的精确信息。特别地，我们分析了通过在 $\Omega$ 内放置一个较小的同心球而获得的构型所起的作用。在这种情况下，应力函数具有显式的径向对称形式：这使我们能够借助球谐函数计算扭转刚度泛函的二阶形状导数的符号。根据电导率之比和较小球的半径，会出现对称性破缺现象。