三角范畴关于扩张闭子范畴的局部化

本文旨在发展三角范畴 $\mathcal{C}$ 的局部化理论框架，即由给定的 $\mathcal{C}$ 的扩张闭子范畴 $\mathcal{N}$，我们在 $\mathcal{C}$ 上构造自然的额外三角（extriangulated）结构以及满足适当泛性的正合函子 $Q:\mathcal{C}\to\widetilde{\mathcal{C}}_\mathcal{N}$，从而统一若干现象。确切地说，给定子范畴 $\mathcal{N}$ 为稠密（thick）当且仅当局部化 $\widetilde{\mathcal{C}}_\mathcal{N}$ 对应于一个三角范畴。此时，$Q$ 无非就是通常的 Verdier 商。进一步揭示，$\widetilde{\mathcal{C}}_\mathcal{N}$ 为精确范畴当且仅当 $\mathcal{N}$ 满足生成条件 $\mathsf{cone}(\mathcal{N},\mathcal{N})=\mathcal{C}$。这样的（阿贝尔）精确局部化 $\widetilde{\mathcal{C}}_\mathcal{N}$ 有助于理解某些上同调函子 $\mathcal{C}\to\mathsf{Ab}$，例如 $\mathcal{C}$ 上 $t$-结构的 heart 以及 $\mathcal{C}$ 关于簇倾斜子范畴 $\mathcal{N}$ 的阿贝尔商。