双循环矩阵特征值的局部化

固定正数 $\alpha$ 和 $\beta$。对于形如 $diag(a_1, a_2, ... ,a_n) - diag(b_1, b_2, ... ,b_n) \Sigma_*$ 的双循环矩阵族，其中 $\Sigma_*$ 是 $n$-循环 $1 \to 2$、$2 \to 3$、...、$n-1 \to n$、$n \to 1$ [循环记号 (1, 2, ... , n-1, n)] 的置换矩阵，且 $a_k$ 的几何平均固定为 $\alpha$、$b_k$ 的几何平均固定为 $\beta$，左半平面内特征值的最大数量由 $diag(\alpha, \alpha, ... , \alpha) - diag(\beta, \beta, ... , \beta) \Sigma_*$ 达到。这证实了 C. Johnson、Z. Price 和 I. Spitkovsky 的一个猜想。此外，展示了左半平面中特征值数量的完整可能范围：若 $\alpha < \beta$，则 1 到最大值之间（含端点）的任何奇数都是可实现的，且这些是唯一的可能性。