Bergman 核的局部化及实解析伪凸域的 Cheng-Yau 猜想

本文首先在无界伪凸域的 D'Angelo 有限类型边界点附近建立 Bergman 核的局部化结果。该结果在20多年前，Engli\v{s} 已对有界伪凸域证明了，而在无界情形下一直未解决。与此相关的早期结果由 Fefferman、Kerzman、Boutet de Monvel-Sj"ostrand、Boas、Bell 等人取得。Ebenfelt、Xiao 和 Xu 最近的工作包含了与本问题相关的定理，但适用于负曲率鞥线束上的单位盘，这并非欧几里得空间中的域。我们利用局部化定理和 Mir-Zaitsev 的延拓定理，表明具有实解析边界的有界伪凸域的 Bergman 计量若且唯若该域与单位球 biholomorphic 等价，从而推动了 Cheng-Yau 的旧猜想。关键步骤在于表明光滑（可能是无界的）伪凸域的 Bergman 计量在边界包含非强伪凸 $h$-可延拓点时不可能是 Kähler-Einstein。随后我们表明，若其 Bergman 计量为 Kähler-Einstein，则具有弱伪凸实解析域必有一个弱伪凸 $h$-可延拓边界点，从而将研究归结到 $h$-可延拓情形。