具有弯曲边界的 Navier-Stokes 方程中奇点形成的局部化必要条件

我们将 Navier-Stokes 正则性理论中两个证明依赖于对假想奇点“放大”的结果推广到边界弯曲部分 $\Gamma \subset \partial\Omega$ 附近的局部情形。设 $u$ 是一个边界合适弱解,具有奇点 $z^* = (x^*,T^*)$,其中 $x^* \in \Omega \cup \Gamma$。那么,在弱背景假设下,$u$ 的 $L_3$ 范数在以 $x^*$ 为中心的每个球中趋于无穷:\begin{equation*} \lim_{t \to T^*_-} \lVert u(\cdot, t)\rVert_{L_{3}\left(\Omega \cap B(x^*,r)\right)} = \infty \quad \forall r > 0. \end{equation*} 此外,通过“放大”奇点的重标度过程,$u$ 在 $\mathbb{R}^3$ 或 $\mathbb{R}^3_+$ 中生成一个非平凡的“温和有界远古解”。我们的证明依赖于边界合适弱解的截断过程。前一结果基于 $L_3$ 初值数据的能量估计和刘维尔定理。对于后一结果,我们应用基于 K. Abe 和 Y. Giga 的线性估计的 $L_\infty$ 初值数据的微扰理论。