CAT(0) 群立方化的局部有限性
摘要
令 X 为一个真 CAT(0) 空间。X 的一个半空间系统(或立方化)是开半空间的一个集合 H,在闭包-补运算下封闭,且 X 中每一点有一个邻域只与 H 的有限多个墙相交。给定一个立方化 H,人们使用 Sageev-Roller 构造来形成一个立方化 C(H)。研究立方化的一个背景是 Coxeter 群 (W,R) 作用于其 Davis-Moussong 复形,其中 H 的元素为由反射定义的半空间。对此背景,Niblo 与 Reeves 曾证明 C(H) 是一个有限维、局部有限的立方化。他们的证明显式使用了由 Brink 与 Howlett 证明的 Coxeter 群的“平行墙性质”,并严重依赖于对与 (W,R) 相伴的根系的细致计算。我们利用赋予锥拓扑的 X 的视觉边界推广了他们的局部有限性结果。我们引入 H 上的一个渐近条件(“一致性”),并证明其等价于 H 具有平行墙性质以及腔的有界性。一致性关乎边界点被 H 的墙逼近的方式。我们证明若 G 是一个在 CAT(0) 空间 X 上几何作用的群,且 H 是 X 的在 G 下不变的均匀立方化,则 C(H) 是局部有限的。我们也证明 到 的自然映射是一个拟等距,并借此给出强化平行墙性质的定量结果。
引用
@article{arxiv.math/0610950,
title = {Local finiteness for cubulations of CAT(0) groups},
author = {Dan Guralnik},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0610950},
year = {2007}
}
备注
25 pages, 3 figures. Improved exposition, significantly strengthened results (assumption on $\omega$-dimensionality may be dropped, equivalence between parallel walls property and uniformness, new quantitative results)