Henselian环的局部Bézout定理

本文给出了代数局部Bézout定理改进版本（作者在JSC 45 (2010) 975--985中给出）的一个初等证明。在此，我们去除了某些特定假设，获得了该定理的最优代数版本。给定一个在$n$个未定元上的$n$个多项式系统，其系数属于具有代数闭商域的局部正规域$(A, m, k)$，且该系统在剩余域上在$k^n$中定义了一个重数为$r$的孤立点，我们证明该系统在剩余零点之上（即坐标在$m$中）存在有限多个零点，且其重数之和为$r$。我们的证明基于计算代数的边界基技术。我们在任意Henselian环和$m$-adic拓扑的背景下陈述并证明了该定理的代数版本。我们受Arnold启发，利用了Weierstrass除法（在Henselian环中）的抽象版本，并且我们还引入了他所称的“多局部环”的抽象版本。粗略地说，我们考虑一个有限表示的$A$-代数，其中$(A, m, k)$是一个局部环，使得特殊点是具有重数$r$的孤立零点的$k$-代数，我们证明由该点确定的“多局部环”是秩为$r$的自由$A$-模。