Z 上非齐次随机游走系统的局部与全局生存

我们研究 Z 上的相互作用随机游走系统，其中在时间 0 时，原点处有一个活跃粒子，每个位置 $n \ge 1$ 处有一个非活跃粒子。当被另一个活跃粒子击中时，粒子变为活跃状态。一旦激活，从 $n$ 出发的粒子执行一个非对称、平移不变、最近邻随机游走，其向左跳跃概率为 $l_n$。我们在所有粒子永生以及粒子寿命服从几何分布（参数取决于粒子起始位置）两种情况下，给出了全局生存、局部生存和无限激活的条件。更确切地说，一旦激活，位于 $n$ 的粒子在每一步以概率 $p_n \in [0, 1]$ 存活。特别是，在永生情况下，当所有粒子向右漂移时，我们证明了局部生存概率的 0-1 律。此外，当所有粒子向左漂移时，我们给出了局部生存或局部灭绝的充分条件。在有限寿命情况下，我们提供了全局生存、局部生存和局部灭绝的充分条件（这些条件也适用于具有混合漂移的永生情况）。我们提供了对显式例子的分析：我们完整描述了 $1/2-l_n \sim \pm 1/n^\alpha$, $p_n = 1$ 以及 $1_n-1/2 \sim \pm 1/n^\alpha$, $1-p_n \sim 1/n^\beta$（其中 $\alpha,\beta > 0$）情况下的相图。