图的列表染色与广义Dyck路径

卡特兰数出现在组合数学中的各种计数问题中。本文揭示了卡特兰数与图的列表染色之间的联系。假设 $G$ 是一个图且 $f:V(G) \to N$ 是一个映射。对于非负整数 $m$,令 $f^{(m)}$ 为 $f$ 到图 $G \diamondplus \overline{K_m}$ 的扩张,其中对 $\overline{K_m}$ 的每个顶点 $v$ 有 $f^{(m)}(v)=|V(G)|$。令 $m_c(G,f)$ 为使 $G \diamondplus \overline{K_m}$ 不是 $f^{(m)}$-可选的最小 $m$,$m_p(G,f)$ 为使 $G \diamondplus \overline{K_m}$ 不是 $f^{(m)}$-可涂的最小 $m$。我们研究任意映射 $f$ 下的参数 $m_c(K_n, f)$ 与 $m_p(K_n,f)$。对于 $\vec{x}=(x_1,x_2,\ldots,x_n)$,一个终止于 $(a, b)$ 的 $\vec{x}$-支配路径是 $a \times b$ 网格中从 $(0,0)$ 到 $(a,b)$ 的单调路径,使得 $P$ 上每个顶点 $(i,j)$ 满足 $i \le x_{j+1}$。令 $\psi(\vec{x})$ 为终止于 $(x_n,n)$ 的 $\vec{x}$-支配路径的数目。由该定义,卡特兰数 $C_n$ 等于 $\psi((0,1, \ldots, n-1))$。本文证明若 $G=K_n$ 有顶点 $v_1, v_2, \ldots, v_n$ 且 $f(v_1) \le f(v_2) \le \ldots \le f(v_n)$,则 $m_c(G,f)=m_p(G,f)=\psi(\vec{x}(f))$,其中 $\vec{x}(f)=(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 且对 $i=1, 2,\ldots, n$ 有 $x_i=f(v_i)-i$。因此,若 $f(v_i)=n$,则 $m_c(K_n, f)=m_p(K_n, f)$ 等于卡特兰数 $C_n$。