避列表定向

给定图$G$，其在每个$v \in V(G)$处有一组禁值集$F(v)$，图$G$的一个$F$-避定向是指一种定向，使得对每个顶点$v$均有$deg^+(v) \not \in F(v)$。Akbari、Dalirrooyfard、Ehsani、Ozeki和Sherkati猜想：若对每个$v \in V(G)$有$|F(v)| < \frac{1}{2} deg(v)$，则$G$存在一个$F$-避定向，并且他们证明了当$\frac{1}{2}$替换为$\frac{1}{4}$时该命题成立。本文朝该猜想推进一步，证明了若对每个顶点$v$有$|F(v)| < \lfloor \frac{1}{3} deg(v) \rfloor$，则$G$存在一个$F$-避定向。此外，我们证明若$G$的最大度关于最小度为次指数级，则该$\frac{1}{3}$系数可提升至$\sqrt{2} - 1 - o(1) \approx 0.414$。我们的主要工具是基于Alon和Tarsi的组合零化定理(Combinatorial Nullstellensatz)所得到的一个$F$-避定向存在性的新充分条件。