群论框架下的 Liouville 型模型. I. 有限维代数

在本系列论文中,我们将 $d+1$ 维 Liouville 模型的“Whittaker”波泛函表示为 $d+0$ 维 sine-Gordon 型理论(对 $d=0$ 和 $1$)中的关联函数。该波函数的渐近由 Harish-Chandra 函数刻画,其被证明为对所有相应代数的正根(对 $d=0$ 为有限维,对 $d=1$ 为仿射)的简单 $\Gamma$-函数因子之积。这与近期关于 $1+1$ Liouville 模型中 2 点和 3 点关联函数的成果 nicely 对应,其中观测到特殊双周期性的出现。 $d+1$ 维非仿射(“共形”)Toda 型模型的 Whittaker 波函数由仿射 Toda 型 $d+0$ 维理论中的简单平均给出。此现象显然平行于自由场波泛函的表示:其原为具有给定边界条件的 $d+1$ 维圆盘内部的 Gaussian 积分,可表示为对 $d$ 维边界本身的非局域二次积分。本文我们主要集中于有限维情形。有限维“Iwasawa”Whittaker 函数的结果已知,我们给出其综述。我们也构造了新的“Gauss”Whittaker 函数。