极小曲线与 Teichmuller 测地线

对于两个填满双曲化曲面 $S$ 的测度层 $\nu^+$ 与 $\nu^-$，以及 $t \in (-\infty, \infty)$，令 $L_t$ 为在 Teichmuller 空间上使长度函数 $e^t l(\nu^+) + e^{-t} l(\nu^-)$ 取最小的唯一双曲曲面。我们刻画了在 $L_t$ 中短小的曲线并估计其长度。我们发现这些短曲线与在 Teichmuller 测地线上的曲面 $G_t$ 中短小的曲线一致，该测地线的水平与竖直叶状结构分别为 $e^t \nu^+$ 与 $e^{-t} \nu^-$。通过推导关于 $\nu^+$ 与 $\nu^-$ 绕短曲线的扭转的额外信息，我们估计了 $L_t$ 与 $G_t$ 之间的 Teichmuller 距离。我们推断该距离可以任意大，但若 $S$ 为一次穿孔环面或四次穿孔球面，则该距离独立于 $t$ 有界。