度量空间中的线：计重数的泛有理线

在有限度量空间 $M=(V,d)$ 中，由两个不同点 $x$ 和 $y$ 生成的线记为 $\overline{xy}^M$，其定义为点集 $$\overline{xy}^M:=\{z\in V: d(x,y)=|d(x,z)\pm d(z,y)|\}.$$ 若一个 2-集合 $\{x,y\}$ 满足 $\overline{xy}^M=V$，则称为泛有理对，其关联的线称为泛有理线。Chen 和 Chv\'atal 猜想，在任何有限度量空间中，要么存在一条泛有理线，要么至少存在 $|V|$ 条不同的（非泛有理）线。Chv\'atal 证明了当度量空间的距离取值于集合 $\{0,1,2\}$ 时，该猜想确实成立。Aboulker 等人针对由有限图诱导的度量空间，提出了对 Chen 和 Chv\'atal 猜想的如下加强形式：线的数量加上泛有理对的数量至少等于空间中的点数。在本文中，我们首先证明了距离取值于集合 $\{0,1,2\}$ 的度量空间满足这一更强的猜想。我们还证明了对于由二部图诱导的度量空间，除非该图为 $C_4$ 或 $K_{2,3}$，否则线的数量加上图的桥的数量至少等于其顶点数。