具有同伦自由外部的 3 维空间线性嵌入图

若图的每条边都被映射为线段，则称该图到 $\mathbb{R}^3$ 的嵌入是线性的。若图 $G$ 到 $\mathbb{R}^3$ 的嵌入 $f$ 满足 $\pi_1(\mathbb{R}^3-f(G))$ 是自由群，则称该嵌入是自由的。已知任何完全图的线性嵌入总是自由的。本文研究线性嵌入的自由性与顶点数量的关系。结果表明，对于任何顶点数不超过 6 且最小价至少为 3 的简单连通图，其线性嵌入总是自由的。相反，当顶点数量远大于最小价或连通度时，自由性可能不再是此类图的内在性质。事实上，我们证明了对于任何 $n \geq 1$，存在无穷多个最小价为 $n$ 但具有非自由线性嵌入的连通图，并且存在无穷多个具有非自由线性嵌入的 $n$-连通图。