Ginzburg-Landau 演化中涡旋的线性化动力学稳定性

我们考察了 Ginzburg-Landau 模型中 $n$ 个涡旋的动力学稳定性问题。涡旋是拓扑孤子的主要示例之一，其动力学稳定性是描述相互作用涡旋的“粒子加场”描述的基本假设。在本文中，我们聚焦于涡旋的共旋转扰动，建立其线性化演化的衰减估计，用于相对论情形。一个主要性质是构造位于涡旋处的线性算子相关的失衡傅里叶基。一般方法遵循 Krieger-Schlag-Tataru 和 Krieger-Miao-Schlag 的方法，依赖于具有强奇异势的 Schrödinger 算子的谱分析。由于其中一个算子在无穷远处呈振荡的零能解，需额外工作来构建并控制谱测度。我们获得的衰减估计为波动类型和 Klein-Gordon 类型，与二维 Schrödinger 算子的一般理论相符，包括具有 $s$ 波共振的情形，但衰减更快。最后，我们给出一种新方法，证明无不稳定谱，并通过适当的 Lieb-Thirring 不等式给出嵌入特征值位置的估计。特别是，我们证明特征值必须位于区间 $(1.332, 2)$ 中，其中 $2$ 表示线性化中出现的两个标量算子中一个的有效质量。