Anosov 微分同胚的 Dirac 观测量的线性响应

我们考虑紧黎曼流形 $M$ 上 $\mathcal{C}^4$ Anosov 微分同胚的一个 $\mathcal{C}^3$ 族 $t\mapsto f_t$。记 $\rho_t$ 为 $f_t$ 的 SRB 测度，我们证明若 $\theta$ 形如 $\theta(x)=h(x)\delta(g(x)-a)$，其中 $\delta$ 为 Dirac 分布，$g:M\rightarrow \mathbb{R}$ 为 $\mathcal{C}^4$ 函数，$h:M\rightarrow\mathbb{R}$ 为 $\mathcal{C}^3$ 函数，且 $a$ 是 $g$ 的正则值，则映射 $t\mapsto\int \theta d\rho_t$ 可微。我们还需要一个横截条件，即 $h$ 的支撑与水平集 $\{g(x)=a\}$ 的交由“容许稳定叶层”所叶状化。