二次有理映射的极限：Cantor locus

Cantor locus 是二次有理映射模空间 ${\bf rat}_2$ 中唯一的双曲分量，由具有完全不连通 Julia 集的映射组成。虽然 Cantor locus 的几何和动力学已得到充分理解，但其边界以及边界上映射的动力学尚不清楚。在本文中，我们探讨了边界抛物线部分附近的动力学。我们引入了映射 $g$ 相对于二次抛物线多项式 $\mathrm{P}_{\opq}(z)={\opq} z+z^2$（其中 $\opq=e^{2\pi ip/q}$）的“动力学标记”概念。$g$ 的动力学标记 $(x,\psi)$ 是 $\mathrm{P}_{\opq}$（在其 0 点的抛物线盆上）与 $g$ 之间的共轭 $\psi$，它“标记”了 $g$ 的临界值 $v_1=\psi(-\frac{\lambda^2}{4})$ 和 $v_2=\psi(x)$ 的动力学位置。我们构建了 Cantor locus 的局部参数化，该参数化由动力学标记参数化，并利用它证明了动力学标记的一种“稳定性”形式。即，对于 Cantor locus 中具有固定动力学标记 $x$ 且吸引不动点的特征值 $\lambda_k$ 次水平地（subhorocyclicly）趋于 $\opq$ 的序列，要么该序列收敛到边界中唯一的抛物线参数（该参数具有特征值 $\opq$ 的不动点，且相对于 $\mathrm{P}_{\opq}$ 由 $x$ 标记）；要么该序列在 ${\bf rat}_2$ 中趋于无穷大，且某些代表元 $G_{\lambda_k,a_k}$ 在 ${\bf rat}_2$ 内的 Cantor locus 边界中具有重缩放极限。