可逆映射等价性的局限性

本札记结合两篇近期论文的结论：Anuj Dawar、Erich Grädel与Wied Pakusa发表于ICALP 2019的论文，以及Moritz Lichter发表于LICS 2021的论文。两篇论文的主要技术结果均依赖于对某些Cai-Fürer-Immerman（CFI）结构变体上可逆映射等价 $\equiv^\text{IM}_{k,Q}$ 的组合与代数分析。这些 $\equiv^\text{IM}_{k,Q}$-等价（对一个数 $k$ 与素数集 $Q$）细化了图同构算法中著名的Weisfeiler-Leman等价。其直观含义是，两个图 $G\equiv^\text{IM}_{k,Q}H$ 无法被通过对 $k$-元组上基于特征 $p \in Q$ 的域上向量空间线性算子的等价迭代精化所区分。第一篇论文以可观代数工具表明，对素数 $q \notin Q$，该 $\equiv^\text{IM}_{k,Q}$ 等价无法区分域 $\mathbb{F}_q$ 上的非同构CFI结构。第二篇论文对环 $\mathbb{Z}_{2^i}$ 上的CFI结构给出相似但不相同的构造，并再次通过相当复杂的组合与代数论证，证明其对 $\equiv^\text{IM}_{k,\{2\}}$ 不可区分。结合早期工作，这第二项结果将秩逻辑与多项式时间分离。我们统一了两种方法，并证明环 $\mathbb{Z}_{2^i}$ 上的CFI结构对 $\equiv^\text{IM}_{k,\mathbb{P}}$（其中 $\mathbb{P}$ 为所有素数集）不可区分。这蕴含以下两个结果。1. 不存在固定 $k$ 使得可逆映射等价 $\equiv^\text{IM}_{k,\mathbb{P}}$ 在所有有限图上与同构一致。2. 不动点逻辑通过域上线性代数算子的任何扩张均无法捕获多项式时间。