基于 Weisfeiler--Leman 的秩宽有界图的并行规范标记

本文中,我们证明计算秩宽(rank-width)有界图的规范标记属于 $\textsf{TC}^{2}$。我们的方法建立在 K\"obler & Verbitsky (CSR 2008) 的框架之上,他们给出了树宽有界图的类似结果。此处,我们使用 Grohe & Neuen (ACM Trans. Comput. Log., 2023) 的框架,通过 split-pairs 与 flip 函数来枚举分隔集。为控制电路的深度,我们利用如下事实:任意秩宽为 $k$ 的图都容许宽度 $\leq 2k$、高度 $O(\log n)$ 的秩分解(Courcelle & Kant\'e, WG 2007)。这使我们能运用 Wagner (CSR 2011) 的思想,在计算中追踪递归的深度。此外,在将图拆分为连通分量后,需在 $\textsf{TC}^{1}$ 中判定这些分量是否同构。为此,我们推广 Grohe & Neuen (同上) 的工作,证明 $(6k+3)$ 维 Weisfeiler--Leman (WL) 算法仅需 $O(\log n)$ 轮即可识别秩宽为 $k$ 的图。由此,我们得到:秩宽有界的图可被具有 $6k+4$ 个变量与量词深度 $O(\log n)$ 的 $\textsf{FO} + \textsf{C}$ 公式所识别。在本文之前,秩宽有界图的同构测试尚不知是否属于 $\textsf{NC}$。