具有大相互作用半径的 Erdős-Rényi 随机图中路径与三角形的极限定理

我们研究了在 Erdős-Rényi 类型随机图上进行 q 步路径的累积矩，在当顶点数 N、浓度 c 和相互作用半径 R 趋于无穷大时的情况下的行为。这些累积矩可以与矩阵模型中指数随机图自由能的形式累积展开相关联，这在数学和理论物理中广为人知。我们指出，在三种不同的渐近 regime 下，k 次累积矩的极限值 ${\cal F}_k^{(q)}$ 存在，并且可以关联到一种或另一种树状图谱系，具体取决于 q 步非闭合路径和 $c^2R/N^2$ 对于 3 步闭合路径的渐近行为。在某些情况下，我们以显式形式获得 ${\cal F}_k^{(q)}$。这些结果使我们能够为相应随机图集合中非闭合路径的数量以及三角形数量证明极限定理。作为结果，我们指出在我们考虑的随机图中，存在一种渐近 regime，其中平均顶点度数保持有界，而三角形总数无限增加，从而严格解决了已知于应用中的图塌缩问题。