射影同余子群的提升

我们证明了 $SL_2(\mathbb{Z})$ 中射影等价于同余子群的非同余子群是普遍存在的。更精确地说，如果所考虑的同余子群是级数 $N>2$ 的主同余子群 $\Gamma(N)$，则它们总是存在，并且在许多情况下对于 $\Gamma_0(N)$ 也存在。提出这个问题的动机与模形式有关：射影等价的群对于所有偶权具有相同的尖点形式空间，而奇权尖点形式的空间通常不同。我们通过所附的椭圆模曲面的几何考虑，对权重 3 的这一现象进行了一些初步观察。我们还开发了算法，用于构造所有射影等价于给定同余子群的子群，并判断其中哪些是同余子群。其中的一个关键工具是 Wohlfahrt 的广义级数概念。